采用一次二阶矩方法(Hasofer-Lind（HL） 方法)求解系统可靠性的过程中，需要将极限状态方程中的一般物理空间(physical variable space)中的随机变量转换为标准正态空间( space of standardized Gaussian variables )中的随机变量。

(资料图)

独立随机变量

独立正态随机变量的变换

其中

上述的式子是一个线性变化，将转换为了均值为0,标准差为1的标准正态变化

独立的一般随机变量的变换

如果变量 是的分布已知，则可以通过使变量 和 的概率相等来表示进行等概率变换。

令

则

逆变换为

一般来说，对于所有分布， 和 转换只能逐点构造，而没有解析表达式。（特殊情况除外）

对数正态分布的转换

Gumbel分布的转换

Rosenblatt 变换（相关随机变量）

当变量不独立时，无法使用上述方法。设联合分布函数已知时，Rosenblatt 变换提供了一种将非独立分布转变为标准正态空间随机变量的方法。该方法求解较为复杂，并且Rosenblatt 变换不是唯一的（取决于随机变量的选择顺序，但是通常情况下选择顺序对结果的影响不大）。

变化的具体步骤为

其中，是在条件下的的分布函数（需要根据贝叶斯公式进行计算各条件概率分布）。

逆变换可以表示为

Rosenblatt变化在大多数情况下，必须进行数值求解。 需要注意的是，Rosenblatt变化需要非常多的样本分布信息（因为必须估计联合概率密度），而在实际工程中联合分布较难获得，大多数情况下仅能获得边际分布和相关性（这对于正态或对数正态变量的向量来说已经足够了）。

近似正态分布变换

Rosenblatt 变换需要已知联合概率密度， 然而大多数时候我们只有非常少量的信息，能够获得的信息主要包括：

（1）每个随机变量的边际分布，对应的均值为，的标准差为

（2）随机变量之间的相关系数

那么可以使函数在相同点具有相同的值就能够获得一个近似的正态分布均值和标准差为。

独立随机变量的变换（等概率正态变换）

分布函数在考虑的点处相等性：

对上式中的求导数变为

求解得到对应的均值和标准差为为

相关随机变量的变换

的协方差为

随机向量进行中心标准化（centered and standardized）

需要注意：其中是标准中心化的变量，但是并不是正态变量！

那么的协方差可以写为

随机变量和的均值为0，协方差可以进一步表示为

（将带入就很明显）

其中

通过等效正态变换导出的变量具有零均值、单位标准差和相关系数。对于一个n维的维随机向量具有n维的相关系数，相关系数矩阵中的元素为。那么可以通过变换来将随机标量转换到的特征坐标。

矩阵是对称且正定的矩阵，对应的n个特征值为（特征值在特征矩阵的对角线上），对应的特征向量为（特征向量确定了新的变换后的坐标）。

那么相关系数满足如下的式子

将转换到新的坐标系中，成为一组不相关的随机变量，该随机变量具有非单位标准差

的协方差矩阵写为：

其中 是的标准差对角矩阵。 最后：

逆变换为

Nataf变换

与使用近似正态分布的变换一样，Nataf 变换只需要知道均值、标准差 、相关矩阵的边际分布即可 。

以二维的随机变量为例，两个相关的随机变量 。设已知边际函数、标准正态相关随机变量分别为。那么可以表示为

根据 Nataf，变量具有正态联合分布，那么 的联合分布可以通过以下方程表示

其中

；

——具有零均值、单位标准差和相关系数 的二维正态概率密度函数：

。

根据相关性的定义， 之间的相关性可以表示为

而

相关系数还可以表示为

对进行求导

带入的式子，得到

求解上式可以得到相关系数。

【待补充，常用的一些Nataf变化公式，n维的情况】

参考资料：

[1]Lemaire M. Structural Reliability[M]. UK: Wiley-ISTE, 2009.

[2]吕大刚. 基于线性化Nataf变换的一次可靠度方法[J]. 工程力学, 2007, 24(5): 79-86.

[3]http://openturns.github.io/openturns/latest/theory/numerical_methods/nataf_transformation.html

[4]http://openturns.github.io/openturns/latest/theory/numerical_methods/rosenblatt_transformation.html

关键词： 随机变量 相关系数 联合分布